题解：P9306 「DTOI-5」进行一个排的重 (Minimum Version)
题目
小 L 有一个长为 的序列 ，其中每一项 都是一个 pair 。
为了让 看起来规整一些，他钦定 分别均为长为 的排列。
为了对 的规整程度进行量化计算，他给出了一个权值函数：
注意 时两个方括号都能取到值，因为我们认为 。
为了让 看起来更加规整，他决定分别以某种方式重排 得到 使得 最小。注意重排时必须将 视为整体。
他希望你求出 $f(a’){\min}a’f(a’){\min}$。
由于方案数可能很大，你只需要求出结果对 取模的值。
对于 的数据，，，保证 均为排列。
题解
比较容易观察到，把最大的放在前面肯定是最好的，这就产生了两种情况：
情况一：存在 使
- 把 放在第一个， 为最优解。
- 考虑排列个数，由于 不会再有贡献，所以为 。
情况二：不存在
分为两种类型：
类型一：
那么后面 这一维没有更多的影响，只考虑 这一维。
我们把 放到距离 足够近的位置，比如在第二个， 取到最小。
所以我们需要找到一个 的范围，使得 。
思路一
方法：
- 找到所有 满足 ，把他们撒到 的范围上；
- 在产生的第一个空位上填入 ；
这样，成功用 挡住其他 ，并且保证了 之前的不会由于 产生影响。
所以总的方案数就是：撒点方案 × 小 全排列 × 大 全排列。
类型二：
同理，为：
答案相加即可，代码如下：
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| #include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define st first
#define nd second
using namespace std;
const LL mod = 998244353;
const int MAXN = 5e5 + 7;
int n;
pair<int, int> a[MAXN];
LL fac[MAXN];
pair<int, int> maxP;
pair<int, int> maxQ;
inline LL Pow(LL base, LL expo) {
LL res = 1;
while (expo) {
if (expo & 1)
res = (res * base) % mod;
base = (base * base) % mod;
expo >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i].st;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i].nd;
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (a[i].st == n && a[i].nd == n)
cout << 2 << ' ' << fac[n - 1], exit(0);
if (a[i].st == n)
maxP = a[i];
if (a[i].nd == n)
maxQ = a[i];
}
LL ans = 0;
ans = (ans + fac[n - 1] * Pow(n - maxP.nd, mod - 2)) % mod;
ans = (ans + fac[n - 1] * Pow(n - maxQ.st, mod - 2)) % mod;
cout << 3 << ' ' << ans;
return 0;
}
|
思路二
考虑 的时候，移动 ，在两者之间选中一些 插入。
方案数为：对不同选数个数求和（小数的选法 × 选中部分的排列 × 没选中部分的排列）。
代码如下（好事多 %）：
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| #include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define st first
#define nd second
using namespace std;
const LL mod = 998244353;
const int MAXN = 5e5 + 7;
int n;
pair<int, int> a[MAXN];
LL fac[MAXN];
pair<int, int> maxP;
pair<int, int> maxQ;
inline LL Pow(LL base, LL expo) {
base = base % mod;
LL res = 1;
while (expo) {
if (expo & 1)
res = (res * base) % mod;
base = (base * base) % mod;
expo >>= 1;
}
return res;
}
inline LL C(int x, int y) {
return (fac[x] * Pow(fac[y] * fac[x - y], mod - 2)) % mod;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i].st;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i].nd;
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (a[i].st == n && a[i].nd == n)
cout << 2 << ' ' << fac[n - 1], exit(0);
if (a[i].st == n) maxP = a[i];
if (a[i].nd == n) maxQ = a[i];
}
LL ans = 0;
for (int i = 0; i < maxP.nd; ++i) {
LL res = C(maxP.nd - 1, i);
res = (res * fac[i]) % mod;
res = (res * fac[n - 2 - i]) % mod;
ans = (ans + res) % mod;
}
for (int i = 0; i < maxQ.st; ++i) {
LL res = C(maxQ.st - 1, i);
res = (res * fac[i]) % mod;
res = (res * fac[n - 2 - i]) % mod;
ans = (ans + res) % mod;
}
cout << 3 << ' ' << ans;
return 0;
}
|
