第一章 第一节 映射与函数

Firsry AC/WA/RE/TLE
  2025-08-10 11:16:03 2025-08-10 11:16:03 Created   2025-08-10 21:57:12 2025-08-10 21:57:12 Updated    

概念

函数、定义域、值域

定义
设 。若对每个 ，按某个确定的对应法则，都有且仅有一个实数 与之对应，则称在 上定义了一个函数，记作 或 。集合 称为函数的定义域； 称为函数值；全体函数值所成的集合称为函数的值域。

解析与要点

  • “唯一性”和“确定性”是函数的本质；多值对应不称为函数（可拆成若干单值分支）。
  • 定义域必须明确；值域是像集 ，与“陪域/目标集”区分开。
  • 同一解析式在不同定义域上可视为不同函数。

例子

，定义域 ；值域为 。

函数相等

定义
两个函数 与 相等，是指它们具有相同的定义域，且对每个 （在共同定义域内）都有 。

解析与要点

  • 相等不仅是“对应法则一致”，还要求“定义域相同”。
  • 常见混淆：在不同定义域上相同解析式不代表函数相等。

例子

在全体实数上成立，且定义域同为 ，因此它们表示同一函数。

函数的表示法（解析式、图像、表格、分段）

定义
函数可用解析式、图像或列举（表格）等方式表示。若在定义域的不同部分按不同解析式给出，称为分段函数。

解析与要点

  • 分段函数在“分界点”处要特别关注取值与左右极限（下一节连续性会严格讨论）。
  • 同一函数可有不同等价表示；需确保定义域一致。

例子

即 ；两种表示等价。

复合函数

定义
设 在 上有定义， 在 上有定义。若对每个 ，有 ，则 在 上有定义，称 为复合函数。

解析与要点

  • 关键是“内函数的值落在外函数的定义域内”。
  • 复合函数的定义域为 。

例子

（定义域 ），（定义域 ）。则 的定义域为 。

反函数

定义
设函数 在区间 上为一一对应（单射），值域为 。对每个 ，方程 在 上有唯一解 ，定义 。函数 称为 的反函数。

解析与要点

  • 充分条件： 在区间上严格单调 ⇒ 存在反函数。
  • 反函数与原函数互逆：（），（）；图像关于直线 对称。
  • 常见做法：若 不是一一对应，先“限制定义域”至严格单调的区间。

例子

在 上严格增，值域 ；反函数为 ，定义域 。

初等函数与基本初等函数

定义
以常数和自变量 为基础，经过有限次四则运算和函数复合所构成的函数，称为初等函数。由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数经有限次四则与复合得到的，称为基本初等函数及其组合。

解析与要点

  • 基本类型与典型定义域：
    • 幂函数 （常见 或实数；注意定义域与奇偶性）
    • 指数 （，定义域 ，值域 ）
    • 对数 （，定义域 ）
    • 三角 （相应去除奇点）
    • 反三角 （注意主值与定义域）
  • 初等函数稳定：有限次运算与复合后仍为初等函数。

例子

（定义域 ）是基本初等函数的组合。

奇函数与偶函数

定义
设函数 的定义域 关于原点对称（即 ）。若对一切 ，有
偶函数：；奇函数：。

解析与要点

  • 奇偶性依赖“对称定义域”。
  • 性质：偶×偶=偶；奇×奇=偶；奇×偶=奇；奇+奇（在同域）仍奇，偶+偶仍偶。
  • 奇偶与可积、可导性质常相互配合（后续章节用到）。

例子

为偶函数； 为奇函数； 为奇函数， 为偶函数（定义域 ）。

周期函数

定义
若存在正数 ，使得对一切 ，只要 与 都在定义域内，就有 ，则称 为周期函数， 为其周期。若存在最小的正数满足上述条件，称其为最小正周期。

解析与要点

  • “最小正周期”不一定存在（如常函数任何 都是周期）。
  • 组合与变换会改变周期（如 的周期为原周期除以 ，若有定义）。

例子

的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。

单调性（增减）

定义
若在区间 上，对任意 （均在 内），都有 （或 ），则称 在 上为增函数（或严格增）。类似地定义减函数与严格减。

解析与要点

  • “严格单调”保证可逆（一一映射）。
  • 单调性的判定在本章先靠图像与直觉，微分法在后续章节给出。

例子

在 上严格增； 在 上严格减。

有界性、最大值与最小值

定义
若存在实数 ，使得对所有 有 ，则称 在 上有上界（上有界）；存在 使 ，称为下有界；同时有上、下界称为有界。若存在 使 （对一切 ），则称 为最大值（记作 ）；类似定义最小值。

解析与要点

  • “最大/最小值”要求在定义域内“取得”；“上确界/下确界”是界限概念，未必能取到（详见后续极限/连续章节）。
  • 闭区间上连续函数必取得最大最小值（后续定理）。

例子

在 上有界，，且能取得最大值 和最小值 。

分段函数（形式化）

定义
设区间 被若干互不相交的子区间 覆盖。若 在每个 上由解析式 给出，则称 为分段函数：（）。

解析与要点

  • 在分界点需特别指明取值（右/左端点归属），否则是“未定义”。
  • 连续性与可导性在分界点需分别检查。

例子

。在 处，；左右极限均为 （连续），但导数左右不同（后续可导性再判）。

参数方程与曲线

定义
若由参数 的两个函数

确定平面上的点集，则称该点集为一条以 为参数的曲线；亦可视作函数 的像。

解析与要点

  • 消去参数可得到对应的隐式方程（若可能）。
  • 参数的取值区间与方向信息很重要。

例子

单位圆的参数表示：。

隐函数（概念）

定义
设平面上给定方程 。若在某区间（或邻域）内，对每个 ，方程关于 有唯一解 ，则称该方程在该区间（或邻域）内确定了一个隐函数 。

解析与要点

  • “唯一性”是关键；若一条曲线对同一 给出两条 （如圆），可分成上下两支分别作为函数。
  • 更严格的“隐函数存在定理”在多元微分章节给出。

例子

在 上可分成两条函数分支： 与 。

函数图像的平移、伸缩与对称

规则
设 的图像已知：
上下平移：（上移 ）；左右平移：（右移 ）
纵向伸缩：（关于 轴放缩 倍）
横向伸缩：（关于 轴按 倍伸缩）
轴对称：（关于 轴对称），（关于 轴对称）

解析与要点

  • 先括号后平移： 先做横向伸缩，再右移 ，再上移 。
  • 把图像在 轴下方部分“翻上来”； 把右半边关于 轴镜像到左侧。

例子

是 右移 、上移 的结果； 是 右移 。

探究

Round 1

【理解】

函数

  • 每个 x 都有对应值；
  • 一个 x 只能对应一个值；

【疑问】

目标集和陪域是什么？

【理解｜归档修订】

  • 函数是三要素：定义域 、法则、陪域Y。记作f:D\to Y$。
  • 对每个 ，存在且仅存在一个 满足 （存在性 + 唯一性）。
  • 值域（像集）是实际输出集合：。
  • 允许“多对一”（不同 给同一个 ），不允许“一对多”。

【回答｜目标集与陪域是什么】

  • 陪域（codomain）：在定义函数时“预先指定”的目标集合 ，写在 里，是函数定义的一部分。它不一定等于函数真正取到的所有值，只要求包含它们。
  • 目标集：在多数教材中与“陪域”同义。少数场合里混称为“值域”。
    本课程中：目标集 = 陪域。
  • 值域（像集，range/image）：，通常是陪域的子集。若 ，则称 在 上为满射（onto）。

关系总结

满射

例子 1

取 ，。

  • 陪域（目标集）；值域 ；非满射。
  • 若改成 ，同一规则但不同陪域，此时 为满射。

注

  • 在严格集合论视角，函数包含“陪域”的信息；改变陪域会得到不同的函数对象。
  • 在传统初等微积分里，常只强调“定义域 + 解析式”，弱化“陪域”的区分；但讨论“是否为满射/反函数存在性”时，明确陪域尤为重要。

启发式问题

  • 给定 ， 与 ，。二者是否是同一个函数？它们各自是否为满射？在你看来，什么时候需要显式写出“陪域/目标集”？请用【回答】说说你的看法。

【回答】 不是同一个函数， 非满射而 是。 当陪域不为 的时候。

与 不是同一个函数；
非满射而 在其陪域上满射。

Round 2

【疑问】

初等函数为什么强调“有限次”？有什么函数不是初等函数？

【回答】为什么初等函数强调“有限次”？哪些函数不是初等函数？

定义角度

初等函数的一个常见严谨表述是：

取常数、恒等函数 、幂函数 （在约定的定义域内）、指数 、对数 、三角函数与反三角函数为“基”，允许做有限次 、、、 与有限次复合，所得的函数族称为“初等函数”。“有限次”是定义的一部分：

最小的函数集合，使得基函数对有限次四则与复合封闭。

为什么必须强调“有限次”

  1. 若允许“无限次”（如无穷和、无穷积、极限、无限复合），几乎所有解析函数都可由幂级数/极限生成，初等的边界就失去意义。
  2. 微积分里“闭式解/closed form”的直觉就是“有限表达的可写性”，强调可计算与可代数操作。
  3. 理论上也需要边界：例如“初等函数的不定积分仍是初等函数吗？”答案一般是否定，这恰由 Liouville 定理与 Risch 算法刻画；若放开成“无限次”，定理就不成立或失去作用。

非初等函数的典型家族与例子

这些函数通常需要“极限/无穷和/特殊微分方程解/反解”来定义，无法化成有限次初等运算与复合：

  • 误差函数：（等价地， 非初等）。
  • 指数积分：；对数积分：。
  • 正弦/余弦积分：。
  • 椭圆积分： 等。
  • 贝塞尔、艾里等特殊函数：（常由微分方程定义）。
  • 伽马函数：。
  • Lambert 函数： 是 的反函数，出现在解 一类方程时； 非初等。
  • 大量幂级数定义的函数，例如 ，一般不可化为初等闭式。

两个“看起来简单但非初等”的常被考到的积分
非初等（定义了非初等（定义了
它们能用幂级数或特殊函数表达，但不能用有限次初等运算与复合表达。

补充提醒

  • “非初等”并不等于“不可计算”。它们可用级数、数值法、渐近展开高精度近似。
  • 有时一个“无限”表达恰好可化简为初等（如等比级数求和变成 ），是否初等看“能否化到有限初等表达”，而非“推导过程是否用了无限”。

【回答】

不必了，这部分知识有点超纲，但是我有了一份直观的感受。

Round 3

【疑问】

我的反函数有点没看懂，而且有很多概念没有讲，比如单射。

【回答】反函数与单射/满射/双射，一次讲清

定义（单射，injective）

若 满足：，有 ，称 为单射。

要点
  • “不同输入不撞车”。图像上用“水平线判别”：任何水平线最多与图像相交一次。
  • 在区间上，若 严格单调，则必为单射。
例子

严格增，故为单射。

定义（满射，surjective）

若 ，称 为满射（到 ）。

要点
  • 满射依赖于“陪域 的选取”。同一规则，不同 ，满射性可能不同。
例子

不是满射（负数取不到）； 是满射。

定义（双射，bijective）与反函数

若 同时是单射和满射，则为双射。此时存在唯一的反函数 ，满足

要点
  • 反函数是“把箭头反向”的函数，存在性要求 必为双射（等价：在把 取成像集 后只需单射）。
  • 图像关于直线 对称。
  • 反函数的定义域是原函数的值域：。
例子 1（不可逆 → 限制后可逆）

， 不是单射（ 与 同像），无反函数。
限制到 ： 严格增且到，故为双射，反函数

若限制到 ，反函数为 。

例子 2（本身可逆）

，。严格增且值域为 ，双射。解 得

例子 3（三角函数的“取支”）

不是单射；限制到 后严格增，得到双射

常见操作流程（如何“求反函数”）

  1. 明确 的 与 ；若 在 上不是单射，先限制 到严格单调的子区间。
  2. 方程法：令 ，在允许的 上解出 关于 的表达 ，检查其单值性与与原域的对应。
  3. 写成 ，最后按习惯把自变量记为 ：（注意此处 ）。

易错点

  • 把 的反函数写成 。 不是函数（多值）；必须选定分支并限制定义域。
  • 忽略陪域：是否满射、是否存在 都依赖 。
  • 解方程时丢失/引入额外解，需回代与域检查（如对数、根式要求 或 ）。

图像判别小技巧

  • 竖线判别（是否是函数）：任一直线 与图像至多相交一次。
  • 水平线判别（是否单射）：任一水平线 至多相交一次。
  • 反函数图像：将图像关于 对称。

【理解】

单射：保证了 Y -> D 唯一性；
慢射：保证了 Y -> D 存在性；
所以此时就会有一个 Y -> D 的函数；
而这个函数与 D -> Y 的函数互为逆运算；
叫做反函数

【理解｜修正归档】

你的核心框架“存在性 + 唯一性 → 反函数”是对的；两处需要精确化：

  • “慢射”应为“满射”。
  • “单射保证 唯一性”的表述需加限定：单射只保证对像集中的每个 ，原像至多一个；对整个 不作保证（因为 里可能有根本取不到的值）。

严格版小卡片

单射（injective）

满射（surjective）

双射（bijective）⇔ 单射且满射

存在唯一反函数 ，并且

直观总结

  • “唯一性”由单射提供（但只针对 ）。
  • “存在性”由满射提供（覆盖整个 ）。
  • 两者兼具 ⇒ 对每个 都“有且仅有一个”原像，于是 的反函数成为良好定义的函数。

例子快速对照

  • ：非单、非满，无反函数。
  • ：单且满，。
  • ：单且满，。

结构图（像集包含于陪域）

graph LR
D((定义域 D)) -- f --> Y((陪域 Y))
I((像集 Im f)) -. 子集 .-> Y
Y -- 只有双射时存在唯一的 f^{-1} --> D

复习

一、核心三要素与值域/陪域

  • “存在+唯一”在 内成立；允许“多对一”，不允许“一对多”。
  • 函数相等需“定义域相同且对应法则一致”。
  • 计算题中若不写陪域，默认随语境（但讨论“满射/反函数”必须写）。

二、复合函数

  • 先判“内函数输出是否落入外函数定义域”。
  • 复杂表达式优先做“域检查”。

三、单射/满射/双射与反函数

  • 单射提供“唯一性”（对 至多一个原像）；满射提供“存在性”（覆盖整个 ）。
  • 反函数的定义域是原函数的值域：。
  • 非单射时常“限制定义域到严格单调区间”以获得反函数。

四、初等函数与基本族

  • “有限次”是定义边界；出现无穷和/极限/特殊函数（如 ）一般非初等。
  • 常见域：（）定义域 ，值域 ； 定义域 。

五、奇偶性、周期性、单调性、有界性

定义（奇/偶）
定义域关于 对称时， 分别为偶/奇。

定义（周期）
存在 使 （同域内）则为周期函数；若有最小正者称为“最小正周期”。

定义（单调）
为（严格）增；类似定义减。

定义（有界/最值）
存在 使 （上有界）；存在 使 （下有界）；在域内取到最大/最小值时称为最值。

六、分段/参数/隐函数与图像变换

定义（分段）
（），分界点取值须明示。

定义（参数）
， 给出曲线；可消参得隐式式子（若可能）。

定义（隐函数）
在某域内可唯一解出 时，称确定了隐函数（严格存在性见多元微分学）。

图像变换规则

  • 上下平移：；
    左右平移：；
    纵向伸缩：；
    横向伸缩：；
    对称：、。
  • 组合顺序： 先横向伸缩，再平移。

七、易错警示

  • 复合函数遗漏“内→外”匹配导致域写大。
  • 写反函数时用 导致“多值”，应选支并限制域。
  • 忽略陪域，导致“满射/反函数”判断错误。
  • 分段函数分界点未给值，或与左右极限混淆（连续性留待后节）。

八、微型自检

  1. 若 与 ，且 ，则 。（错；陪域不同）
  2. 若 单射，则必存在 。（错；还需满射或改取 ）
  3. 的定义域总是 的定义域。（错；需 ）
  4. 的反函数是 。（错；需选支并限制定义域）
  5. 的最小正周期一定是 。（对）

练习

说明

  • 题型对齐同济版第一章第一节常规题（我有标准答案与详解）。你做完用【回答】提交过程与结论，我再给逐题批改与详细解法。
  • 做题时务必写清：定义域 、必要时陪域 、值域 ，以及判定依据。

基础必做（1–8）

  1. 求定义域与值域（若便于，可写区间或集合表示）
  • (a)
  • (b)
  • (c)
  • (d) （并求最小正周期）
  1. 判断奇偶性（并说明定义域是否关于 对称）
  • (a)
  • (b)
  • (c)
  1. 判断并写出最小正周期
  • (a)
  • (b)
  • (c)
  1. 判断下列成对函数在各自定义域上是否“相等函数”，并说明理由
  • (a) 与
  • (b) 与 （约定 的定义域）
  • (c) 与常函数 （在 上）
  1. 复合函数的定义域
  • (a) 设 （），。求 的定义域。
  • (b) 设 （），。求 的定义域。
  • (c) 设 （），。求 的定义域。
  1. 反函数的存在性与表达式（必要时限制定义域或明确陪域）
  • (a)
  • (b)
  • (c)
  • (d) （若在 上无反函数，请给出一段能使其可逆的区间并写出反函数）
  1. 参数方程与隐式方程
  • (a) 。消去参数得到 关于 的函数表达式，并给出定义域。
  • (b) 。消去参数得到 关于 的关系式，并说明是否为函数（单值）。
  1. 图像变换
  • 由 出发，通过“先右移、再上移”的方式得到 ；请写出每一步的变换说明与中间表达式。

进阶选做（9–12）

  1. 定义域与值域（含分式对数）

    给出定义域，并求值域（提示：研究 的取值范围）。

  2. 单调性与双射性（不使用导数）

  • 讨论 与 上的单调性；
  • 判断 是否为双射，并写出反函数。
  1. 复合与反函数的域互相作用
    设 ，。
  • 证明 ；
  • 求 与 的定义域与表达式。
  1. 分段函数的“函数性”与分界点取值
  • 求 ；
  • 说明该定义是否存在歧义；
  • 写出该函数的定义域和值域（无需讨论连续性）。

提交建议

  • 逐题写出“定义域/陪域/值域”的判定过程，关键不等式或代数变形要给出步骤。
  • 反函数题务必说明“是否限制定义域”和“反函数的定义域”。

启发式问题

  • 在不用导数的前提下，你一般如何判断“有理分式”和“指数/对数/三角的组合”的单调性与可逆性？请用【回答】挑一道上面的题，写出你的判定思路。

【回答】

1.

  1. D = [-2,1], Im f = [0, 3/2]
  2. D = (-inf, 2) ∪ (3, +inf), Im f = (0, +inf)
  3. D = (-inf, -1) U (-1, 1) U (1, +inf), Im f = (-inf, -1) U [1, +inf)
  4. D = R, Im f = [-sqrt(2), +sqrt(2)]，T = 2 pi
    1. 奇
    2. 非奇非偶，D 对称
    3. 奇
    1. 2/3 pi
    2. 1/2 pi
    3. pi
    1. 是
    2. 是
    3. 这两个函数没有学过，可能会有错误：不是，函数值都不一样；
    1. （-inf, 1） U [2, +inf)
    2. (-inf, -2] U [2, +inf)
    3. (-1, 1)
    1. g: R -> R, g(x) = 三次根号下 x - 1
    2. g: R\1 -> R-1, g(x) = (-x - 1)/(x - 1)
    3. 不会
    4. 不会
    1. y = 1/4 x^2 - 1/2 x - 3/4，R
    2. y = 2x^2 - 1，不是，因为 t \in R，x 一对多了
  11. |x| -> |x - 2| -> |x - 2| + 1
  12. D = (-inf, -2) U (1, +inf)，Im f = R
  13. f(x) = 1 - 4 / (x + 2)，与 x 成正比，在两个区间上各自单调递增
    不知道。我该怎么得到 x = -2 的时候函数值应当是 1？听说过洛必达好像可以，洛必达是什么？
    （这个进阶内容如果不要求掌握就先不管，我们课上到那里再说）
  14. D_f = Y_g, Y_f = D_g 且 g(f(x)) = ln e^x = x，为反函数；
    g(f(x)) = x, D = R
    f(g(x)) = x, D = (0, +inf)
  15. f(1) = 2 * 1 - 1 = 1
    没有歧义
    D = R, Im f = [0, +inf)

【批改与讲评】

整体很棒，正确率高，推理清晰。下面逐题核对与订正（只在有问题处给出简要理由）。

  1. 定义域与值域
  • (a) 正确：，。
  • (b) 值域需订正：，。理由：，。
  • (c) 正确：，。
  • (d) 正确：，，。
  1. 奇偶性
  • (a) 正确：奇。
  • (b) 正确：非奇非偶（ 关于 对称）。
  • (c) 正确：奇。
  1. 周期
  • (a) 正确：。
  • (b) 正确：。
  • (c) 正确：。
  1. 是否为相等函数
  • (a) 正确：相等（域同为 ，）。
  • (b) 正确：相等，域同为 ，。
  • (c) 需订正：在 上恒有

    因此二者相等。
  1. 复合函数的定义域
  • (a) 正确：。
  • (b) 端点需去掉：（ 时对数无定义）。
  • (c) 正确：（因为 需严格 ）。
  1. 反函数
  • (a) 正确： 双射，。
  • (b) 正确： 双射，（等价于你写的形式）。
  • (c) 可逆：，其反函数为 。
  • (d) 在 上不可逆（非单射）。若限制 ，则值域为 ，有

    若限制 ，则 。注意：无法到 的全体，只能到 。
  1. 参数与消参
  • (a) 正确：，。
  • (b) 需订正：，且 。这是“ 关于 的单值函数”。
  1. 图像变换
  • 正确：（右移 2，再上移 1）。
  1. 定义域与值域
  • 正确。值域需订正：因为

    永不等于 ，故 取不到 。所以
  1. 单调性与双射
  • 化简 ，在 与 上均严格递增（因为 ）。
  • 它是 的双射，反函数
  • 关于你提到的“ 时函数值应当是 1”： 不在定义域内，且

    并不是 ； 是 时的极限。
  1. 复合与反函数
  • 正确： 与 互逆，（），（）。
  1. 分段函数
  • 全对：，无歧义，，。

【奖励】

  • 细节把握很稳，特别是 1(a)(c)(d)、2、3、6(a)(b)、7(a)、8、11、12 全对；5(a)(c) 也到位。

【启发式问题】

  • 为了练“值域判定”的通用套路：若已知 的变换 ，你能总结出它的值域是什么吗？请用 的思路，概括一套一步到位的“值域—再取对数”的判定模板，并用【回答】写下你的模板。随后我们进入第一章第二节：极限。

Im f = R \ {\alpha}

对！你的结论抓住了要害：对一般的分式线性变换

若 ，则
Missing or unrecognized delimiter for \Big r(x)=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}\cdot\frac{1}{cx+d} \quad\Rightarrow\quad \operatorname{Im} r=\mathbb{R}\setminus\Big{\frac{a}{c}\Big}.

给你一份“值域—再取对数”的判定模板，便于以后一把过。

模板 A： 的值域

  • 分解：，其中
    无（线性情形）无
  • 结论分三类：
    • 若 且 （非常数），则
      Missing or unrecognized delimiter for \Big \operatorname{Dom}r=\mathbb{R}\setminus\Big{-\frac{d}{c}\Big},\qquad \operatorname{Im} r=\mathbb{R}\setminus{\alpha}.
    • 若 且 ，则 （常值），值域 （定义域仍去掉 ）。
    • 若 ，则 为线性函数（）：
      • 若 ，；
      • 若 ，，值域为常数集合。

模板 B： 的定义域与值域

  • 先用模板 A 求出 的值域，再做“正值截取”：
  • 值域分类（非常数情形）：
    • 若 ：
      • 若 ，则正值部分是 ，于是
      • 若 ，正值部分为 ，于是
    • 若 为线性（），通常正值部分为 的某个区间像，常可覆盖全部 ，因此 （具体再做一次不等式判号即可）。
    • 若 为常值：
      • 若常值 ，则 （常函数）；
      • 若 ，则 （无定义）。

与你的例子对照
：，，。
所以 。取对数：

与你之前的结论一致。

启发式问题

  • 试把模板应用到 ，写出 。如果你想继续正式上课，请用【课程】口令开启“第一章 第二节：极限与数列极限（Heine 与 ε-δ 的桥梁）”。

由于外层函数 g(x) = ln(x)，有内层函数 h(x) = (2x - 3) / (x - 4) Im h 含于 (0, +inf)。

\alpha = 2
Dom f = (-inf, 3/2) U (4, +inf)
Im f = R \ {2}

【批改】

  • 当 时，，；
  • 当 时，，；
  • 所以 ，再取对数得到

    这与我们的模板“”一致。

小对照（帮助加深直觉）：

  • 若改为 ，则 在允许域内能覆盖 ，从而 （不再有“挖掉的点”）。

启发式问题

  • 你能用同样的方法，快速写出 的 、定义域与值域吗？提示：先化为 ，再判断正值区间与是否挖掉 。

\alpha = 3
Dom = (-inf, -1/3) U (5, +inf)
Im f = R \ {3}

谢谢学长的反复训练和细心指导！这次的答案可以口答出来！

我自己预习了整个同济教材的 1.2 数列的极限（内容似乎和你的不一样，请你调整，是同济教材的第八版）。请你列出其中涉及的标准概念和经典解释。具体格式是这样的：

概念（三级标题）

概念内容（引用）

要点（四级标题）

要点内容（无序列表）

例子 1,2,3 （四级标题）

例子内容（如果不必有列表就不要有）

几何解释（四级标题，如果有就加上，尽量包含教材上的例子，尽量有独创的理解）

几何解释内容（如果不必有列表就不要有）

  • Title: 第一章 第一节 映射与函数
  • Author: Firsry
  • Created at : 2025-08-10 11:16:03
  • Updated at : 2025-08-10 21:57:12
  • Link: https://firsryfan.github.io/2025/08/10/课程：第一章-第一节-映射与函数/
  • License: This work is licensed under CC BY-NC-SA 4.0.
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第一章 第一节 映射与函数
  1. 概念
    1. 函数、定义域、值域
      1. 解析与要点
      2. 例子
    2. 函数相等
      1. 解析与要点
      2. 例子
    3. 函数的表示法（解析式、图像、表格、分段）
      1. 解析与要点
      2. 例子
    4. 复合函数
      1. 解析与要点
      2. 例子
    5. 反函数
      1. 解析与要点
      2. 例子
    6. 初等函数与基本初等函数
      1. 解析与要点
      2. 例子
    7. 奇函数与偶函数
      1. 解析与要点
      2. 例子
    8. 周期函数
      1. 解析与要点
      2. 例子
    9. 单调性（增减）
      1. 解析与要点
      2. 例子
    10. 有界性、最大值与最小值
      1. 解析与要点
      2. 例子
    11. 分段函数（形式化）
      1. 解析与要点
      2. 例子
    12. 参数方程与曲线
      1. 解析与要点
      2. 例子
    13. 隐函数（概念）
      1. 解析与要点
      2. 例子
    14. 函数图像的平移、伸缩与对称
      1. 解析与要点
      2. 例子
  2. 探究
    1. Round 1
      1. 【理解｜归档修订】
      2. 【回答｜目标集与陪域是什么】
      3. 关系总结
      4. 例子 1
      5. 注
      6. 启发式问题
    2. Round 2
      1. 【回答】为什么初等函数强调“有限次”？哪些函数不是初等函数？
      2. 定义角度
      3. 为什么必须强调“有限次”
      4. 非初等函数的典型家族与例子
      5. 补充提醒
    3. Round 3
      1. 定义（单射，injective）
        1. 要点
        2. 例子
      2. 定义（满射，surjective）
        1. 要点
        2. 例子
      3. 定义（双射，bijective）与反函数
        1. 要点
        2. 例子 1（不可逆 → 限制后可逆）
        3. 例子 2（本身可逆）
        4. 例子 3（三角函数的“取支”）
      4. 常见操作流程（如何“求反函数”）
      5. 易错点
      6. 图像判别小技巧
      7. 【理解｜修正归档】
      8. 严格版小卡片
        1. 单射（injective）
        2. 满射（surjective）
        3. 双射（bijective）⇔ 单射且满射
      9. 直观总结
      10. 例子快速对照
      11. 结构图（像集包含于陪域）
  3. 复习
    1. 一、核心三要素与值域/陪域
    2. 二、复合函数
    3. 三、单射/满射/双射与反函数
    4. 四、初等函数与基本族
    5. 五、奇偶性、周期性、单调性、有界性
    6. 六、分段/参数/隐函数与图像变换
    7. 七、易错警示
    8. 八、微型自检
  4. 练习
    1. 【批改与讲评】