第一章 第二节 数列的极限

概念

数列

把一列实数 按正整数的次序排列称为实数数列，记作 。亦可视为函数 。

要点

• 给法：显式式 、递推式 、列举法。
• 术语：第 项 ；首 项。

例子 1

；显式给出，随 增大逐渐变小。

几何解释

在直角坐标系画点 ，观察 时点列的趋向。

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数列极限（收敛）

若存在实数 ，对任意 ，存在 ，使 ，则称 收敛于 ，记作 或 。

要点

• 量词顺序：。
• 极限与前若干项无关，只看“充分靠后”的项。
• （无穷小思想）。

例子 1

。对任意 ，取 ，有 。

几何解释

数轴上任意小的区间 ，总能从某项起将 全部“装进去”。

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发散、无穷小与无穷大

不收敛于任何实数的数列称发散。若 ，称为无穷小，记 。若 ，记作 （类似定义 ）。

要点

• 为无穷小。
• 发散但有界；（振幅趋零）。

例子 1

； 发散。

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极限唯一性

若 且 ，则 。

要点

• 收敛序列的极限只能有一个（反证或夹逼皆可）。

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收敛序列必有界

若 ，则存在 ，使对一切 有 。

要点

• “收敛 ⇒ 有界”；反之不成立（如 ）。

例子 1

，显然有界。

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极限的四则运算

若 ，则

要点

• 商的极限要求极限分母 ，且 充分大时不为 。

例子 1

。

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保序性与保号性

若 （对充分大 ），且 ，则 。若 （对充分大 ）且 ，则 。

要点

• “最终成立”的不等式可传递到极限。
• 常与夹逼定理配合。

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夹逼定理

若存在 ，对充分大 有 ，且

则 。

要点

• 把“难”序列夹在两侧“好算”的序列之间。

例子 1

，故 。

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单调有界定理

单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。

要点

• 极限分别为上确界/下确界。
• 常见构造：递推产生单增/单减并估界。

例子 1

单增，上界为 ，故 。

几何解释

点列沿数轴单向推进，被某个界限“顶住”，只能趋向该界。

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子列与极限

由严格增的指标列 选取 为子列。若 ，则任一子列也收敛到 。若存在两条子列极限不同，则原列不收敛。若 有界，则至少存在一条收敛子列（Bolzano–Weierstrass）。

要点

• “收敛传子列”；“两子列极限不同 ⇒ 原列发散”。
• 有界必有收敛子列，但不保证全列收敛。

例子 1

的偶数项子列 ，奇数项子列 ，故原列发散。

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常见极限（需会用）

要点

• 离散复利型；指数衰减；对数/夹逼可证 。

例子 1

；。

【调整】

最好一个概念的例子还是有 2-3 个，简单的就一个，虽然有就行但是标准还是要高一点。

以后我不会用“概念”而会用“讲义”，这里面请你用二级标题区分一下板块：概念、定理、例题，例题是既有题目又有详细解析，注意解析的多样性和标准性和紧扣前面的概念、定理内容。

这样吧，我们在上完课之后专门搞一个【归档】行为，那里面你总结我们经讨论之后最终严谨的介绍（把讲义不完善的地方进行补充），以及我们的探讨内容，用着标准的格式进行呈现。（删减一点语言，让内容简洁易懂，保留所有的信息与内容，尤其是我的发言）

你的启发式问题等一等，再给概念的时候不出问题。我自己看了之后再和你的【探究】过程中出这种问题。那个问题很好，我们在后续练习的时候做。

请你回答的时候把我的疑问引用起来放在对应的回答前面，方便归档。

探究

Round 1

【疑问】数列和函数的区别是什么？说是可以视为函数，为什么单独剖开这一个概念？

• 数列本质是函数，但域不同：数列是 （离散、可数、有“次序”），而一般函数是 （常为连续区间，有拓扑邻域结构）。
• 极限语义不同：数列极限用“–”，函数极限用“–”。用数列研究函数极限（Heine 定义）需要先把“数列极限”讲清。
• 工具差异：数列侧重“单调有界”“子列”“项级不等式”“夹逼”等离散工具；函数还要讨论连续/可导等局部性质。
• 教学上单独剖开，是为了先在“离散、单向趋近”的简单语境里把极限思想、量词结构练熟，再推广到函数极限与连续性。

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Round 2

【疑问】递推式我也很熟悉，但是不是所有的递推式定义的数列都能写出通项吧？比如 DP 上经常出现的一些递推，不过那种递推不是在严格意义的“数列”上的；

• 对，一般只要递推关系 + 初值能唯一决定每一项，就定义了一个数列；
  是否能写出“通项（闭式）”不是定义要求。
• 例子
  • 能写：斐波那契 ，Binet 公式可得闭式。
  • 难写：，仍定义良好但通常无初等闭式。
  • DP 常见是多参数数组（如 ），若固定一个索引（如 ），则 也是一个数列。

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Round 3

【疑问】书上说“数列 {x_n} 可看作数轴上的一个动点，依次取 x_1,2,3。我想问，这种理解下移动定义是什么？

• “动点”是形象化说法：
  随 递增，点在数轴上的位置依次跳到 。
• 这是离散“跳动”，不是连续时间运动；
  没有“瞬时速度”之类的连续概念；
  它只帮助你直观看“是否逐步靠近某点”。

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Round 4

【疑问】列举法为什么可以表示数列？数列不是在 n∈N_+ 上定义的吗？他应该是无限长的才是，那列举法又是什么样的？

• 数学上允许用“逐项指定”的方式定义函数 ：给出 的完整列表（或生成算法），就定义了一个数列。
• 实践中常见三类列举/生成：
  • 算法描述： 为 的第 个小数位（可计算地生成）。
  • 选择性定义： 为第 个素数（“第 个”给出函数规则）。
  • 显式表列：（给出通项生成模式也可视作列举）。

【疑问】关于“列举”，也就是说一些难以形式化描述的，可以用文字或者具有明显特征规律的描述，这就是列举法吗？

可以。教材里的“列举法”本质是在说明一个函数 的生成规则，这个规则可以是文字叙述、性质刻画或算法步骤，不必一定写成显式通项。但必须满足三点：

1. 全定义：对每个 都能给出且仅给出一个 （存在性 + 唯一性）；
2. 无歧义：规则不依赖主观猜测或“看着像”，而是客观确定；
3. 无限延展：不是只罗列有限个项并用“…”含糊其意，必须让人据此能生成所有项。

常见“列举”层次

• 口头规则（性质刻画）：比如“ 为第 个素数”。这是完整定义，因为“第 个素数”唯一存在。
• 算法/程序式规则：比如“ 等于 的二进制表示中数字 1 的个数”。可逐项计算，定义完备。
• 先列前若干项 + 明确生成规律：比如“，按分母递增，正负交替”。已明确“如何得到第 项”。
• 不充分的“列举”：只写“”却不说明是“斐波那契列 ”还是“素数序列”，这种就不构成严格定义。

合格与不合格的对照

合格

• 例 1：，其中 为第 个素数。定义域 ，每 唯一确定 。
• 例 2： 为把 写成二进制后 1 的个数（如 因为 ）。
• 例 3（递推也算“列举”）：，给初值 。递推 + 初值唯一决定全列。
• 例 4（枚举有理数的一种固定顺序）：按网格对角线次序遍历 并取既约分数 ，跳过重复；或用 Calkin–Wilf 树 BFS。定义清楚后即可视作序列。

不合格

• 例 A：“ 随机取 或 ”。这不是一个确定的单一数列，而是一族随机序列；若要定义单一序列，必须给出某个具体样本或确定性生成器（含具体随机种子也可把它确定化）。
• 例 B：“”未指明规律。
• 例 C：规则不全（例如“ 为不小于 的最小质数”，当 说得通，但若遇到定义中出现“不存在”或“一值多解”而不补充约束，就不完备）。

与“通项”的关系

• 是否能写出通项（闭式）与能否定义一个数列是两回事。只要规则使每个 的值可唯一确定（哪怕通过复杂计算），就是合法定义。很多著名序列（如 Kolakoski 序列）没有简单通项，但定义无歧义。

一个小检查清单（自查“列举法”是否合格）

• 对每个 ，我能用规则算出唯一的 吗？
• 规则中有无边界情形未覆盖（如“第 个……是否总存在”）？
• 若用了“…”或口语规律，能否把它改写成“第 项”的明确描述或算法？
• 若是递推，初值是否给全，是否保证解的唯一性（本节一般默认实数代数递推都有唯一延拓）？

总结

“列举法”不是“随手举几项”，而是“用文字/性质/算法给出一个对所有 都有效、唯一的生成规则”。在这样的前提下，即使没有通项，它仍是严格的数列定义。

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Round 5

【理解】数列的极限“与首若干项无关，只看充分靠后”，因为首若干项项数有限，而后面 n>N 的部分项数无限，是吗？还是说一个数列作为有着某种法则，靠后的更能表现出数列的性质？

两点都对；
严格说法：若两列仅在有限多项上不同，则它们同收敛且极限相同。
证明：给定 ，取 同时大于“分歧的最大下标”，再应用定义 。

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Round 6

【疑问】“不收敛于实数”是因为我们讨论的范围是实数，还是说讨论复数没有意义？因为复数不能比大小？

• 本节聚焦实数列。复数列也有完善理论：用模度量 定义收敛，大小比较并不需要。
• 多数实数列定理（唯一性、四则、夹逼等）在复数列中也成立（用复数模来度量）。

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Round 7

【理解】一个数列不可能既是无穷小又是无穷大。这里的小大指的是绝对值大小，-inf 也是无穷大。
【疑问】无穷小数列就是收敛的数列吗？
【理解】这里似乎可以看到与函数的不同之处。函数时可以 Im f = (-inf, +inf) 的。也就是说，数列是有一端 x_1，类似于射线；函数则都可以，取决于 Dom。这里应该是一个差异。关于上面的【疑问】，数列还有别的差异吗？

• 认可你的两条“理解”。
• 回答：“无穷小”定义即收敛到 ，所以“无穷小数列 ⇔ 极限为 的收敛数列”。一般收敛数列是“极限为某 ”，不一定是 。
• 进一步差异：数列域是离散的 ，只有“单向极限 ”；函数域可有区间与多种逼近方式（ 等），并可讨论连续、导数等局部性质。

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【疑问】收敛函数必有界的详细证明是什么？（请给出形式化证明和形象化解释，所有的证明都要这样，既有严谨的部分，又有看的懂的部分，看懂了再去品味严谨性更好）

严谨证明（数列版）
设 。取 ，则存在 使 ，即 。令

则对一切 ，，故有界。

形象解释
后半段的点都被“夹”在 内；前半段只有有限多个，取绝对值最大者作为全列的保护上界即可。

【疑问】关于“收敛函数必有界，我最开始的想法也是在 epsilon 范围外只有有限个，但是那里面为什么不会出现 +inf 或 -inf 呢？这个不能叫有界吧？

一、我们此处讨论的是“实数数列”的定理：收敛数列必有界

• 定义约定：本章的“数列”是 ，每一项 都是“有限的实数”。因此单个项不可能等于 或 。
• 形式化证明回看一遍：设 。取 ，则存在 使 ，从而 （尾部整体被圈住）。前 项是一个有限集合，每一项都是有限实数，故其绝对值的最大值 也是有限的。于是
  
  给出全体项的统一上界：。这就是“有界”。所谓“ 范围外只有有限个”恰好保证“首若干个可能很大，但仍是有限多个有限值”，因此可以一把取最大值；不存在“单个项等于 ”的问题。

二、如果你想到的是“函数在一点的极限”，需要改口径

• 对函数 而言，“ 时极限存在”推出的是“局部有界”：
  
• 这不意味着 在全域有界。例如 在 时极限为 ，但在整个 上无界。因此“函数有极限 ⇒ 局部有界”，而非“全局有界”。

三、顺带说下“扩充实数”的情况（仅作对照，不作为本章默认）

• 若允许把数列取值放到“扩充实数”，则“收敛到某个有限 ”的定义仍只约束“充分大的 ”，允许前面有限多项“任意”（甚至可写成 ）。但这时它已不是“实数列”，而“有界”按通常定义也不成立。因此本章统一按实数列讨论，避免混淆。

小例子帮助直觉

• 数列 收敛到 ，虽有“前 5 项很大”，但仍是有限个有限值，整体仍有界（上界可取 ）。
• 函数 在 时极限为 ，但全局无界；而在某个邻域 内，它是有界的（例如 ）。

【理解｜归档修订】

你的表述正确：在“实数数列”语境中，约定每一项 ，不包含 或 作为项的取值。

补充澄清

• “发散到 /”描述的是极限行为：（或 ）。此时每个 仍是有限实数，只是无上界（或无下界）。
• 若将取值扩展到“扩充实数” ，可以讨论把某些项直接记为 的“序列”，但那已不属于本章默认的“实数数列”，相应定理表述也需调整。

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Round 8

【理解】极限的运算本质上就是数的运算，因为是趋近于某个值，某一数列极限本身不会因为运算改变；

• 补强：当且仅当参与的极限存在并满足条件（如分母极限非 ）时，才能把“极限运算”当成“数的运算”。
• 反例提醒：，但 ，不能把“”当作数来算。

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Round 9

【疑问】强调“b_n 终不为 0”是为什么？趋近于 B 且 B≠0 不就代表了最终 b_n 不为零吗？强调“最终”是因为我们在讨论极限吗？

• 是的，“最终不为 0”从 推出：取 ，则 ，从而 。
• 条件里强调“终不为 0”，是为了排除分母为 的未定义情形，并提醒读者在应用商的极限时要先验证这一点。

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Round 10

【疑问】保序性和保号性强调“充分大 n”是否就是 n→+∞？

• 对。“充分大 ”的正式含义是“存在 ，对一切 性质成立”，这正对应着 的尾部行为。

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Round 11

【疑问】单调有界定理中“上确界”“下确界”这种函数的定义这里也可以直接用吗？虽然我知道其意思。

• 可以直接用（是实数完备性的基本概念）。
• 证明思路（以单增有上界为例）：设 单增且 有上界，令 。任取 ，由上确界定义存在 使 。因单增，，故 ，即 。单减有下界同理。

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Round 12

【疑问】怎么证明有界则至少存在一个收敛子列。

• 结论（Bolzano–Weierstrass）：实数列有界 ⇒ 存在收敛子列。
• 证明（嵌套区间法，初等版）
  1. 取含有全体项的闭区间 。
  2. 二分 成两半，选取包含无限多项的一半，记为 ；继续二分，得嵌套闭区间列 ，其长度 。
  3. 逐步在每个 中选取一个指标严格递增的项 。
  4. 嵌套区间定理给出唯一点 。因区间长度趋零，可证 。
• 直观：不断“缩放取密集的那半边”，把无限多项“逼到”一个点上。

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Round 13

【疑问】常见数列极限都需要证明一下；

• 
  取 ，令 （注意 ），则 。 情形也可用单调有界： 单减且下界 。
• （作为 的定义或由单调有界与夹逼证明）
  常见做法：证明 单增、有上界（可用二项式与不等式），极限定义为 ；或在后续用对数与积分不等式精化。
• 
  设 ，用 与 （）：
  
  取指数得结论。
• 
  用对数：。对任意 ，取 使 ，则
  
  故 ，从而 。

---

Round 14

【疑问】没有看懂“等价无穷小替换”。

• 定义：若 终成立且 ，称 与 等价，记 （当 ）。若再有 ，则 ，且在“乘除型”的极限中可用 替换 的主部。
• 直观： 与 的相对误差 ，两者“同阶同幅”，用其中较简单者代换不改变“零阶近似”的极限结果。
• 常用等价（；把 取成 可用于数列）：
  
• 例子
  

【理解】等价无穷小的意思就是在极限上是等价的，所以可以用简单的替换复杂的进行计算？

你的理解基本正确。把它说精确一些：

• 定义（以 或 为例）
  若 （最终成立）且
  
  则称 与 等价，记 。
  “等价无穷小”是更强的说法：再要求 。等价地可写成 。

• 可替换的典型场景（安全用法）

  • 比值型极限（最常用）：若 、 且 终成立，则
    
    常用“标准等价”把复杂函数替换成简单主部。
  • 单列极限传递：若 且 （有限或 ），则 。
  • 常用“标准等价”（；把 可转为数列）
    

• 不可随意替换的场景（易错点）

  • 加法/差法不保等价： 并不推出 。
    例：取 ，则 ；但令 ，则 ，，无法“保持等价”。
  • 组合函数要有条件：一般需用已知的“标准等价”或用可微性（如 在 0 可微且 时， 可推出 ）。不满足前提勿生搬。

• 例子 1（比值型，直接替换）
  

• 例子 2（比值型，二阶主部）
  
  若只用“”，无法得到常数；等价给出主部常数。

• 例子 3（提醒：一阶等价不够时要用二阶等价）
  
  这里若只用 （一阶），会得到不定型 ；必须用二阶等价。

一句话总结：等价无穷小就是“相对误差 的主部替换”。用它时，优先在“乘除/比值”里替换，阶数要足够；在“加减/复杂组合”中谨慎，必要时提升到更高阶的等价或用泰勒展开。

【疑问】是不是说等价就是 n -> +inf, a_n / b_n = 1？不一定无穷小才能替换？无穷小只是特殊情况？

• 是。等价的标准写法是：（终成立），且
  
  记作 ，也可写 。不要求 。
• “等价无穷小”是其中一个重要特例：再要求 。它最常用于把 型的比值极限化简（用主部替换）。
• 通用替换范式（安全场景）：
  • 比值型：若 且 终成立，则
    
  • 单列传极限：若 且 （可为非零有限、、甚至 ），则 。
• 例子
  • ，则 ，但都不是无穷小；由此直接得 。
  • ，是等价无穷小，故 。

【疑问】加/差法不行是因为是 c_n，如果是某个常数 c，是否就可以了？

• 分三种常见情形，是否“同时给两边都加同一个常数 ”：
  • 若 ，则
    
    因为 且 。所以此时“加同一个常数”保等价。
  • 若 （有限）且 ，也有
    
    仍保等价。
  • 边界例外：若 ，则分母 ，比值不稳定甚至无定义，此时不能断言保等价。
• 但若“只对一边加常数”，一般不保等价：
  • 例如 ，取 ，则 往往不趋于 （如 ，则比值 还好；但若 ，则 ）。
• 经验法则：等价主要用于“乘除/比值”上下同阶的替换；对“加减”要么同时加到两边且避开“分母→0”的情况，要么避免使用。

【疑问】例子 3 中的第二阶等价是其他的等价方式吗？如果证明需高阶知识就算了。

• 是“更高阶的渐近展开”（二阶主部），典型来自泰勒展开（后续章节会系统证明）：
  
• 用途：当一阶等价给不出常数极限（遇到 但一阶主部抵消）时，提升到二阶即可得到常数，例如
  
• 你先把这些作为“标准库”记下即可；严格证明我们在“泰勒公式与余项”那里统一讲。

练习

题目

部分 A｜函数与映射

1. 关于“函数相等”
   命题：只要两个函数解析式相同，它们就是同一个函数。
   请判断：对 / 错 / 有条件成立？并说明要补充的条件是什么。

2. 关于陪域对反函数的影响
   命题：改变函数的陪域不会影响其是否存在反函数。
   请判断并给出能说明该命题的例子或反例（如 的不同陪域设置）。

3. 复合函数的定义域
   命题：若 与 都在 上有定义，则 也在 上有定义。
   请判断，并给出最小反例或必要条件。

4. 奇偶性的域要求
   命题：只要 ，就可称 为奇/偶函数。
   请判断，并说明需要对定义域补充什么假设。

5. 周期缩放
   命题：若 的最小正周期为 ，则 的最小正周期总是 。
   请判断：总是 / 有时 / 从不，并举出一个“周期变短/不变/消失（常函数）”的代表例子说明你的选择。

6. “对数挖点”模板
   命题：若 是非常数的有理线性分式，且 与 非空，则 的值域为 。
   请判断：总是 / 有时 / 从不，并说明什么时候会变成 （提示： 情况）。

部分 B｜反函数与单/满射

7. 单调与反函数
   命题：若 在区间 上单调，则存在反函数 。
   请判断并说明“反函数的定义域/陪域”应如何写才严谨。

8. 反函数的定义域
   命题：反函数的定义域等于原函数的陪域。
   请判断，并指出“何时等于原函数值域”这一说法更合理。

部分 C｜数列极限（）

9. “有限修改不变极限”
   命题：若两列仅在有限多项上不同，则它们要么同收敛且极限相同，要么同发散。
   请判断并给出理由（用 – 的语言一句话说明即可）。

10. 收敛与有界
    命题：收敛序列必有界；有界序列必收敛。
    请判断每个箭头的真假，并给出一个最小反例（若为假）。

11. 子列与收敛
    命题：若 有两个子列极限不同，则 不收敛。
    请判断并简述思想（不需展开证明）。

12. “发散到 ”与“不收敛”
    命题： 发散到 与 “ 不收敛” 等价。
    请判断并解释“更强/更弱”的关系。

13. 商的极限与分母“最终不为 0”
    命题：若 ，则存在 使 ，从而 。
    请判断并用一行说明“为何 ‘最终不为 0’ 可由极限推出”。

14. 夹逼定理的量词
    命题：若 且 ，则 。
    请判断这条是否“过强”，并改写成正确的量词范围（提示：“充分大 ”）。

部分 D｜等价与等价无穷小

15. 等价不要求趋零

    命题： 的定义是 ，不要求 。
    请判断并给出一个“非无穷小但等价”的例子。

16. 等价与加法
    命题：若 ，则 。
    请判断：总是 / 有时 / 从不。若“有时”，请说明在“同时加同一个常数 ”时何种极限情形下保等价，何种边界情形会失效（提示：分母 ）。

17. 等价与复合
    命题：若 ，且 在 可导且 ，则 。
    请判断这一规则是否合理，并用一句话解释直觉来源（泰勒一阶）。

18. “一阶等价不够用”
    命题：当比值型极限出现“主部抵消”的 时，需要提升到二阶等价（如 ）。
    请判断并用一句话描述“为什么必须提升阶”。

部分 E｜概念辨类（选出类别并简述）

19. 请把下列语句标记为“定义 / 性质 / 定理 / 错误表述”，并各用半行解释你的归类：

• 与前若干项无关
• 极限唯一
• 有界 存在收敛子列
• “只要解析式相同，函数就相等”

部分 F｜最小反例或最小补充

20. 最小反例

• 给出一个“有界但不收敛”的数列；
• 给出一个“在 处有极限但全局无界”的函数。

21. 最小补充

• 把“函数相等”的命题补成完全正确的版本（最少增补文字）；
• 把“夹逼定理”的量词补成完全正确的版本（最少改动）。

说明

• 回答可简洁，但每题请给出“核心理由/反例/补充条件”。
• 若你愿意，我可以按你的答案做逐题点评并把“易混点”收敛到一页卡片。

1. 错，陪域一样，定义域一样；
2. 错，只能通过选分支；
3. 错，要看 R 上 Im f 是否含于 Dom g
4. 错，定义域关于 0 对称
5. 总是，sin(x) vs. sin(kx)
6. 有时，当 \alpha <= 0 的时候，本身不在 Dom ln 内，不造成影响；
7. 错误，应是 Im f -> I
8. 错误，有些陪域不应在定义域内，比如 R -> R 的 e^x，他的反函数 ln x 就不能是 R -> R
9. 设 n > N1 后两数列相同，若任取 epsilon > 0，存在 N2 使 |x_N2 - a| < epsilon，则 n > max(N1, N2) 即可取到极限，否则都发散；
10. 收敛序列必有界，有界序列不一定收敛，例如 (-1)^n，有界但不收敛
11. 对，因为极限是唯一的，如果原数列有极限，则任意子列都有相同的极限，反之亦然。
12. 发散到 +inf 含于 不收敛
13. 因为 bn -> B 且 B \neq 0
14. 是，必须是充分大 n 才行
15. sin(g(x)) 与 f(x)，保证 R 上 f(x) = 1 + 1/x，g(x) -> 1/2 pi,那么是可以替换的
16. 有时可以，但是比如 an = n+1, bn = n, cn = -n 的时候就不行；同时加一个常数在 b = -c 的时候就不行，分母为 0 了，未定义
17. 合理，因为在连续函数上，un vn 等价代表在函数上自变量是等价的，其函数值也应该一样
18. 这个太难了，具体分析不会，但是知道 0/0 的时候就不够用；
19. 性质，定理，定理，错误
20. (-1) ^ n，f(x) = x
21. Dom Y 和解析式均相等的函数相等
22. 对充分大 n，若有 a_n <= b_n <= c_n 且 a_n -> L, b_n -> L，则 b_n -> L

1. 判定：有条件成立

• 订正：当且仅当定义域相同，且在该定义域内两者对应法则逐点相同；若把陪域视为函数对象的一部分，还需陪域相同。
• 说明：单靠“解析式相同”但定义域不同，不能判为同一函数。

2. 判定：不完整（需补充“改陪域有时能改变是否有反函数”）

• 订正：改变陪域会影响“是否满射”，从而影响反函数 的存在。例如 非满射（无 ）；改为 则双射，有 。
• 要点：对 这类“非单射”的例子，改陪域无法弥补单射性，仍需“选分支（限域）”；但对 这类“已单射”的例子，仅改陪域即可。

3. 判定：记号颠倒

• 订正： 的定义域是否为 取决于 ，而不是“ 的像包含于 的定义域”。
• 反例：（全域），（）。此时 无法在 全域定义。

4. 判定：正确

• 补充：需假定定义域关于 对称（），才谈奇/偶：。

5. 判定：基本正确但须补前提

• 订正：若 的最小正周期为 且 ，则 的最小正周期为 。
• 例外：常函数没有“最小正周期”； 退化为常函数（不谈最小正周期）。

6. 判定：基本正确（需把结论说满）

• 完整结论：若 且 的取值集合为 ，则
  • 若 ，；
  • 若 ，（“挖掉的点”不在正半轴内）。

7. 判定：方向需要调换

• 订正：若 在区间 上单调（严格单调即可），则存在反函数 。你的“”就是这个意思。

8. 判定：正确

• 订正表述：反函数的定义域等于原函数的值域 ；只有当原函数“满射到陪域 ”时，反函数才是 。 才能有 。

9. 判定：思路对，量词需修正

• 订正：若两列仅在有限多项不同，则对任意 ，存在 使 。再取 ，就有 两列同项相等且都落入 邻域。否则两列同发散。

10. 判定：正确

• 反例充分： 有界但不收敛。

11. 判定：一半正确，“反之亦然”需澄清

• 正确陈述：若原列收敛，则任意子列收敛且极限相同；若存在两条子列的极限不同，则原列不收敛。
• 但“原列不收敛 ⇒ 必有两条子列极限不同”不总成立（如 时没有收敛到有限数的子列）。

12. 判定：正确

• 说明：“发散到 ”是“不收敛”的强形式（特定的发散类型）。

13. 判定：正确

• 标准一句话：取 ，则 ，从而 ，即“终不为 0”。

14. 判定：正确

• 正确量词：存在 ，当 时 且 ，则 。

15. 判定：未命中要点

• 题意：给出“非无穷小但等价”的例子。
• 建议例子：，则 ，但都不趋于 ；或 。

16. 判定：正确（给得很好）

• 小结：一般“加/减”不保等价；“两边同时加同一常数 ”在 或 的情况下保等价；若 ，则分母 失效。

17. 判定：需加强条件

• 订正：若 且 在 可导且 ，则 。
• 直觉：泰勒一阶 ，常数项相消，主部比例由 控制。

18. 判定：可以接受

• 核心理由：一阶主部相同导致 抵消，需要用二阶主部（如 ）来给出极限常数。

19. 判定：全对

• 归类：性质 / 定理 / 定理 / 错误（已说明）。

20. 判定：全对

• 边界函数例： 在 有极限 ，但全局无界。

21. 判定：可更精准

• 订正（最少增补）：两个函数相等当且仅当“定义域相同，且对每个 在该域内 ”。若把“陪域”也视为函数对象的一部分，则还需陪域相同。

22. 判定：需订正

• 正确表述（夹逼）：对充分大 ，若 且 ，则 。你把“”误写成“”。